Невозможно претендовать на высокий экзаменационный балл, не решив задания, расположенные в вариантах экзамена на последних позициях. Эти задания носят явно выраженный нестандартный характер, тем они и отличаются от остальных задач ЕГЭ. Особенно, если говорить о задании № 19, сведения, необходимые для решения которой могут относиться к самым различным разделам школьного курса, построение решения может потребовать нетривиальных идей и методов. Ведь смыслом включения этого задания в состав контрольно-измерительных материалов ЕГЭ является диагностика именно уровня интеллектуального развития учащихся

Выясним, из каких разделов школьного курса будут нужны сведения, чтобы решить это конкретное задание, сколько таких разделов и тем, когда они изучались, а также какими методами придётся воспользоваться, какие идеи понадобятся. И, главное, что за задачи и сколько их нужно было нарешать за весь период обучения, чтобы сформировалось математическое мышление, которое позволило бы справиться с данным заданием.

Читая формулировку этой задачи, уже сразу сталкиваемся с двумя важнейшими математическими понятиями: цифра и число! Вообще-то, это изучается в 1-м классе, однако, некоторые (многие) путают их всю жизнь, или даже совсем не видят между ними разницы. Так что, если для вас нет разницы между цифрами и числами, или, если у вас цифр бесконечное количество, или 143 - это тоже цифра, то не стоит даже читать данную задачу.

Ни у кого из тех, кто посещает математические кружки с самого младшего возраста, такой путаницы возникнуть не может в принципе! При изучении очень многих тем и методов решения задач используются понятия цифры и числа, их связь, их свойства. Вот перечень только некоторых из них.

Ладно, с понятиями цифры и числа разобрались. Двигаемся дальше. Дочитаем рассматриваемую задачу пока до пункта а).

Чтобы понять о чём там идёт речь (ещё не о том, что нужно делать, чтобы решить), хорошо бы владеть таким понятием как десятичное представление числа. Двузначное число p записывается как

Если приписать к нему справа и слева по цифре, то получим число

Тогда, условие q=kp, связывающее p и q, будет выглядеть следующим образом:

Итак, условие задачи, мы представили в виде некоторой математической модели.

А теперь еще раз оцените, что для этого нужно было знать, чем владеть, и сколько времени должно было быть потрачено на тренировки математического мышления, решение тренирующих его (мышление) задач, чтобы оно было к этому подготовлено!

Хорошо, математическая модель есть. А что это? Уравнение? А почему столько много переменных (букв) в нем? А как его решать? Или вообще, что с ним делать? Примерно такая реакция скорее всего будет у обычного школьника. Однако, ему никто и не даст это выражение в готовом виде. А если он его сумел получить сам, то, скорее всего, знает, что можно делать дальше с этим выражением. Или сможет придумать куда и как двигаться дальше.

Прежде, чем приступить к решению пункта а), упростим выражение (1). Для этого нам понадобится умение:

• • раскрывать скобки;

  • переносить слагаемые из левой части равенства в правую, и наоборот;

  • приводить подобные члены;

  • проводить группировку;

  • выносить общий множитель за скобки;

  • и, самое важное, видеть, какие преобразования стоит здесь делать, чтобы получить что-то полезное для дальнейшего продвижения решения.

Сделав все вышеописанные преобразования с выражением (1), получим следующее равенство:

Но пока всё ещё рано приступать к решению пункта а). Теперь надо вспомнить, что число 1001 - не простое. Именно вспомнить, а не выяснить! Поскольку число 1001 хорошо известно учащимся математических кружков, оно обладает несколькими замечательными свойствами, которые используются в различных задачах. Однако, если не вспоминается, тогда нужно знать (из школьного курса), что числа бывают простыми и составными, и уметь их раскладывать на простые множители (5-6 класс).

Вот теперь, когда мы перепишем равенство (2) в следующем виде, можно приступать к решению пункта а) нашей задачи:

На самом деле, будем продолжать рассматривать (исследовать) выражение (3), подставив в него значение k=101:

Далее,

Следующее действие, сокращение обеих частей равенства на одинаковые множители, это тоже один из разделов школьной математики:

Перейдем теперь к сути вопроса, задаваемого в пункте а), как, собственно, и в пункте б). С математической точки зрения это не очень-то простой вопрос. Довольно трудно определить к какому разделу школьной математики надо обратиться, чтобы понять, что же здесь хотят. Скорее, это относится к общему математическому воспитанию, математической культуре, которые познаются в течение всего обучения.

И, если разобраться, то можно всё поставить на свои места.

Вопрос в пунктах а) и б) нашей задачи—«могло ли быть»: какие вообще варианты ответа есть на этот вопрос? Очевидно, или «Да, могло», или «Нет, не могло». Что мы должны сделать, если правильный ответ—«Да, могло»? А просто привести конкретный пример, мол, вот вам два числа, для них условие выполняется, значит, могло.

А если правильный ответ—«Нет, не могло», что нужно тогда? А в этом случае одного примера будет мало. И даже нескольких примеров будет мало. Нужно какое-то строгое обоснование - доказательство. Понимание, именно этого, кстати, больше всего вызывает затруднение у некоторых учащихся.

Вернемся к решению пункта а). Чтобы понять «могло» или «не могло», нужно проделать некоторый перебор возможных значений цифр a, b и c (а это цифры! не забыли?) в равенстве (6). «Разумный перебор», «полный перебор» - тоже, кстати, не тривиальные, но полезные методы, без которых бывает трудно обойтись. А здесь, в этой задаче, первая же подстановка a=b=c=1 сразу подходит. То есть, ответ - да, могло. Например, p=11, q=1111, 1111=101*11.

Конечно же, числа из этого примера можно было просто угадать, и сделав проверку 1111=101*11, ответить «Да, могло». Однако, такой подход, не позволит продвинуться при решении остальных пунктов данной задачи.

В пункте б) как раз ответ «Нет, не могло». Но это выясняется не пробами рассмотреть какие-нибудь примеры. Вернёмся к выражению (3), подставим в него значение k=143, то есть начнём решать также, как мы это делали при решении пункта а):

Поделим обе части последнего равенства на 7:

Теперь в выражении (8) мы видим, что правая часть содержит множитель 19, который является простым числом. Тогда нужно понимать, что левая часть этого равенства должна делиться на 19. Но 11 и 13, очевидно, не делятся на 19, множитель с тоже не делится на 19, так как это цифра. То есть, получается, что левая часть равенства не делится на 19, а правая - делится. Значит, это неверное равенство, такое невозможно.

Постановка вопросов, сформулированных в пунктах в) и г), требует не только указать наибольшее и наименьшее возможные значения k, но и сопроводить это доказательством. Идеи, которые помогут закончить решение нашей задачи, уже были выдвинуты, опробованы при решении пунктов а) и б). Отталкиваться здесь нужно опять от выражения (3), использовать идеи делимости обеих частей равенства на одно и тоже число, а также то, что a, b и с - это цифры. Методом перебора вариантов, лучше разумного перебора, так как это сильно сокращает решение, а также время, потраченное на это решение, приходим к правильному ответу. Грамотное описание этого перебора и будет нужным доказательством.

А теперь еще раз окинем взглядом всё решение. Вроде, ничего сверхестественного здесь не видно, всё это в той или иной степени изучается на уроках математики. Но посмотрите, сколько всего должно было соединиться в нужный момент.

И это ведь только для одной из возможных задач.

А их тематика, повторимся, весьма разнообразна. Они могут быть и про арифметические прогрессии (Задача 2), и про средние величины (Задача 3), и с элементами геометрии (Задача 4), и с элементами теории множеств (Задача 5), и много-много про что ещё.

Чтобы научиться решать такие задачи, как в задании № 19 ЕГЭ по математике, нужно развивать своё математическое мышление, получать опыт решения нестандартных задач, которые (и мышление, и опыт) формируются не за год, не за два. Избитая фраза "Чем раньше начать, тем лучше”, здесь, как никогда, к месту.