Интересное

1. Метод решения задач "От противного". 

Задача 1. Пять мальчиков нашли 9 грибов. Докажите, что хотя бы двое из них нашли грибов поровну.

Здесь, можно сказать, "стандартная" ситуация. Метод прекрасно работает, что называется "в лоб".

Допустим, что все мальчики нашли разное количество грибов. Пусть первый мальчик нашёл 0 грибов (кстати, об этом нуле не подготовленные ученики частенько забывают, что также можно отнести к не совсем стандартной ситуации), второй – 1 гриб, третий – 2, четвертый – 3, пятый – 4. Но тогда они нашли бы 0+1+2+3+4=10 грибов. Противоречие!

А вот другая ситуация.

Задача 2. Докажите, что в любой компании из 5 человек найдутся двое, имеющие одинаковое количество знакомых.

Допустим, что у первого человека в этой компании 0 знакомых (здесь про 0 не забыть еще важнее!), у второго - 1 знакомый, у третьего - 2 знакомых, у четвёртого - 3 знакомых, у пятого - 4 знакомых.

Вот тебе раз! На всех хватило разное количество знакомых? А если бы мы забыли про 0, то пятому как раз бы и не хватило: у первого - 1, у второго- 2, у третьего - 3, у четвертого - 4, а у пятого - 5, что не может быть (ведь кроме этого пятого в компании есть еще всего 4 человека, поэтому он не мог знать пятерых).

Однако, ноль все  же есть, его никто не отменял. Так в чем же дело? Но ведь, если есть человек, у которого 0 знакомых, то не может быть человека, у которого 4 знакомых (он не может быть знаком с тем, который никого не знает). А также, если есть человек, знакомый со всеми, то нет такого, который не знаком ни с кем. Таким образом, разное количество знакомых может быть лишь от 0 до 3, либо от 1 до 4.

2.  Множества.

Задача 3. В классе 17 пловцов, 6 борцов и 13 футболистов. Каждый спортсмен занимался ровно двумя видами спорта. Сколько всего в классе спортсменов?

Итак, если сложить 17+6+13=36, то получится, что всех спортсменов мы посчитали 2 раза (каждый ведь занимался двумя видами спорта). Значит, всего спортсменов было 36:2=18. Довольно простая ситуация - ничего необычного.

А теперь изменим немного начальные данные в этой задаче.

Задача 4. В классе 27 пловцов, 10 борцов и 15 футболистов. Каждый спортсмен занимался ровно двумя видами спорта. Сколько всего в классе спортсменов?

Как правило, решение проводится один в один как в предыдущей задаче: (27+10+15):2=26. И далеко не каждого смущает тот факт,  что спортсменов получилось меньше, чем было одних только пловцов.

То есть здесь на лицо противоречие: такого быть не может.

Кстати, это можно было выявить еще раньше, подумав о том, что даже если бы каждый из 10 борцов и 15 футболистов был еще и пловцом, то 2 пловца остались бы лишними, при необходимости выполнения условий задачи.

3. Движение

Увидев листик с задачами на движение, большинство учеников произносит что-то типа: "Да это же изи. Сейчас все сделаю". И … "зависают" минут на 20 над следующей задачей.

Задача 4. Один велосипедист проезжает 12 км в час, а другой – 15 км в час. Какое будет между ними расстояние за час до встречи?

Они ведь выучили метод - формулу зависимости между расстоянием, скоростью и временем. То есть должно быть известны две из этих величин, тогда легко можно найти третью. И в этой задаче вроде есть скорости, есть время (1 час), надо найти расстояние. Что же не так? А не так здесь вот что: нет начала движения, нет в явном виде точек А и В, между которыми нужно найти расстояние.

Что нужно уметь делать, чтобы решить эту задачу?

Правильно, нужно уметь размышлять! Ответ, кстати, в последней задаче -  27.

Олимпиада по математике - это не контрольная работа по конкретной теме. К ней нельзя приготовиться "вдруг", за неделю, за одно-два занятия…

Хотя круг тематики задач, представляемых на олимпиадах, не очень уж и широк, однако сами задачи могут быть весьма разнообразны. И построение решения этих задач может потребовать не только нетривиальных идей и методов, которые мы изучаем на наших кружках, усложняя и углубляя их от занятия к занятию, из года в год, а еще и некоторой математической интуиции, чутья - таланта, одним словом!

На решение олимпиадных задач нельзя, что называется, "натаскать" ученика, как при подготовке к контрольной работе или к экзамену, тем более за короткое время, тем более, если раньше он никогда не решал нестандартные задачи. Даже, если он отличник (кстати, это весьма субъективный параметр - мнение конкретного учителя математики).

К слову сказать, чаще бывает так, что талантливые (в математическом смысле) дети, участвующие и побеждающие в олимпиадах, на обычных уроках не являются отличниками. Но эта тема заслуживает отдельного внимания, может мы еще поговорим об этом.

Вернемся к нестандартным и олимпиадным задачам по математике. Нестандартными в математике считаются те задачи, алгоритм решения которых учащимся неизвестен, и нужен самостоятельный поиск ключевой идеи.

На занятиях математического кружка учащиеся узнают разнообразие нестандартных задач, множество приемов, помогающих решить задачу, учатся пользоваться этими приемами.

Без подобного обучения (или самообучения) практически невозможно добиться успехов в олимпиадах чуть более высокого уровня, чем школьный этап, в том числе и из-за конкуренции среди участников. Хотя, как пишут наши коллеги из творческой лаборатории 2х2, "участвовать в олимпиаде всегда полезно и интересно, вне зависимости от уровня подготовки".

Таким образом, подготовка к олимпиаде по математике заключается в постоянных (регулярных) занятиях в математических кружках, участием в олимпиадах и других математических соревнованиях различного уровня и формы проведения. Это дает возможность к саморазвитию, возможность все время быть, что называется, "в форме", быть готовым к участию в математических соревнованиях в любой момент.

Специальные усиленные занятия непосредственно перед олимпиадой всё же полезны: всё, как в спорте. В это время можно вспомнить, отработать, повторить основные методы, подходы, идеи, изученные ранее, чтобы мозг поддержать в состоянии готовности к нестандартным решениям.

Если говорить об оформлении решений олимпиадных задач, то нет тут никаких строгих стандартов. Еще раз напомним, это не контрольная работа.

Основная проблема бывает в том, что некоторые участники пишут просто ответ и всё. Это как раз начинающие участники!

Конечно же на олимпиадах проверяются не ответы, а решения. И те, кто занимается в математических кружках, это прекрасно понимают, причем чаще на подсознательном уровне.

Кроме того, у таких участников также не возникает вопроса как оформить решение. 

Рассмотрим, в качестве примера, следующую задачу:

К двузначному числу p слева и справа приписали одну и ту же не равную нулю цифру. В результате получили число q, в k раз больше исходного числа p.

а) могло ли быть k равным 101?

б) могло ли быть k равным 143?

в) найдите наименьшее возможное целое значение k.

г) найдите наибольшее возможное целое значение k.

Выясним, из каких разделов школьного курса будут нужны сведения, чтобы решить это конкретное задание, сколько таких разделов и тем, когда они изучались, а также какими методами придётся воспользоваться, какие идеи понадобятся. И, главное, что за задачи и сколько их нужно было нарешать за весь период обучения, чтобы сформировалось математическое мышление, которое позволило бы справиться с данным заданием.

Читая формулировку этой задачи, уже сразу сталкиваемся с двумя важнейшими математическими понятиями: цифра и число! Вообще-то, это изучается в 1-м классе, однако, некоторые (многие) путают их всю жизнь, или даже совсем не видят между ними разницы. Так что, если для вас нет разницы между цифрами и числами, или, если у вас цифр бесконечное количество, или 143 - это тоже цифра, то не стоит даже читать данную задачу.

Ни у кого из тех, кто посещает математические кружки с самого младшего возраста, такой путаницы возникнуть не может в принципе! При изучении очень многих тем и методов решения задач используются понятия цифры и числа, их связь, их свойства. Вот перечень только некоторых из них.

• Признаки делимости (4-5 класс). Помните, число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9. А еще аналогичный признак делимости на 3, и совсем другой признак делимости на 5. На математических кружках еще изучаются признаки делимости на 4, 8, 11, и другие. Скорее, даже не сами признаки делимости, а их применение при решении различных задач. Это и в 5-м классе, и в 6-м (теория остатков), и в 7-м (теория сравнений).

• Комбинаторика. Задачи о подсчете количества чисел, которые можно составить из данных цифр, удовлетворяющих определенным условиям. Такие задачи, в зависимости от уровня сложности, встречаются как на математических кружках для второклассников, так и для семи-восьмиклассников.

• Перестановки и вычёркивания цифр в числе. Задачи тоже бывают для разных возрастов учащихся. Хотя, правильнее говорить, не для разных возрастов, а для учащихся разного уровня подготовки.

Ладно, с понятиями цифры и числа разобрались. Двигаемся дальше. Дочитаем рассматриваемую задачу пока до пункта а).

Чтобы понять о чём там идёт речь (ещё не о том, что нужно делать, чтобы решить), хорошо бы владеть таким понятием как десятичное представление числа. Двузначное число p записывается как p = 10a+b. Если приписать к нему справа и слева по цифре, то получим число q = 1000c+100a+10b+c.

Тогда, условие q=kp, связывающее p и q, будет выглядеть следующим образом:

1000c+100a+10b+c =k(10a+b) (1)

Итак, условие задачи, мы представили в виде некоторой математической модели.

А теперь еще раз оцените, что для этого нужно было знать, чем владеть, и сколько времени должно было быть потрачено на тренировки математического мышления, решение тренирующих его (мышление) задач, чтобы оно было к этому подготовлено!

Хорошо, математическая модель есть. А что это? Уравнение? А почему столько много переменных (букв) в нем? А как его решать? Или вообще, что с ним делать? Примерно такая реакция скорее всего будет у обычного школьника. Однако, ему никто и не даст это выражение в готовом виде. А если он его сумел получить сам, то, скорее всего, знает, что можно делать дальше с этим выражением. Или сможет придумать куда и как двигаться дальше.

Прежде, чем приступить к решению пункта а), упростим выражение (1). Для этого нам понадобится умение:

• раскрывать скобки;

• переносить слагаемые из левой части равенства в правую, и наоборот;

• приводить подобные члены;

• проводить группировку;

• выносить общий множитель за скобки;

• и, самое важное, видеть, какие преобразования стоит здесь делать, чтобы получить что-то полезное для дальнейшего продвижения решения.

Сделав все вышеописанные преобразования с выражением (1), получим следующее равенство:

1001c = (k - 10)(10a + b) (2)

Но пока всё ещё рано приступать к решению пункта а). Теперь надо вспомнить, что число 1001 - не простое. Именно вспомнить, а не выяснить! Поскольку число 1001 хорошо известно учащимся математических кружков, оно обладает несколькими замечательными свойствами, которые используются в различных задачах. Однако, если не вспоминается, тогда нужно знать (из школьного курса), что числа бывают простыми и составными, и уметь их раскладывать на простые множители (5-6 класс).

Вот теперь, когда мы перепишем равенство (2) в следующем виде, можно приступать к решению пункта а) нашей задачи:

7 · 11 · 13  ·  c =  (k - 10)(10a + b) (3)

На самом деле, будем продолжать рассматривать (исследовать) выражение (3), подставив в него значение k=101:

7 · 11 · 13  ·  c =  91 · (10a + b) (4)

Далее,

7 · 11 · 13  ·  c = 7 · 13 · (10a + b) (5)

Следующее действие, сокращение обеих частей равенства на одинаковые множители, это тоже один из разделов школьной математики:

11 · c = 10a + b (6)

Перейдем теперь к сути вопроса, задаваемого в пункте а), как, собственно, и в пункте б). С математической точки зрения это не очень-то простой вопрос. Довольно трудно определить к какому разделу школьной математики надо обратиться, чтобы понять, что же здесь хотят. Скорее, это относится к общему математическому воспитанию, математической культуре, которые познаются в течение всего обучения.

И, если разобраться, то можно всё поставить на свои места.

Вопрос в пунктах а) и б) нашей задачи—«могло ли быть»: какие вообще варианты ответа есть на этот вопрос? Очевидно, или «Да, могло», или «Нет, не могло». Что мы должны сделать, если правильный ответ—«Да, могло»? А просто привести конкретный пример, мол, вот вам два числа, для них условие выполняется, значит, могло.

А если правильный ответ—«Нет, не могло», что нужно тогда? А в этом случае одного примера будет мало. И даже нескольких примеров будет мало. Нужно какое-то строгое обоснование - доказательство. Понимание, именно этого, кстати, больше всего вызывает затруднение у некоторых учащихся.

Вернемся к решению пункта а). Чтобы понять «могло» или «не могло», нужно проделать некоторый перебор возможных значений цифр a, b и c (а это цифры! не забыли?) в равенстве (6). «Разумный перебор», «полный перебор» - тоже, кстати, не тривиальные, но полезные методы, без которых бывает трудно обойтись. А здесь, в этой задаче, первая же подстановка a=b=c=1 сразу подходит. То есть, ответ - да, могло. Например, p=11, q=1111, 1111=101*11.

Конечно же, числа из этого примера можно было просто угадать, и сделав проверку 1111=101*11, ответить «Да, могло». Однако, такой подход, не позволит продвинуться при решении остальных пунктов данной задачи.

В пункте б) как раз ответ «Нет, не могло». Но это выясняется не пробами рассмотреть какие-нибудь примеры. Вернёмся к выражению (3), подставим в него значение k=143, то есть начнём решать также, как мы это делали при решении пункта а):

7 · 11 · 13  ·  c =  143 · (10a + b) (7)

Поделим обе части последнего равенства на 7:

7 · 11 · 13  ·  c =  19 · (10a + b) (8)

Теперь в выражении (8) мы видим, что правая часть содержит множитель 19, который является простым числом. Тогда нужно понимать, что левая часть этого равенства должна делиться на 19. Но 11 и 13, очевидно, не делятся на 19, множитель с тоже не делится на 19, так как это цифра. То есть, получается, что левая часть равенства не делится на 19, а правая - делится. Значит, это неверное равенство, такое невозможно.

Постановка вопросов, сформулированных в пунктах в) и г), требует не только указать наибольшее и наименьшее возможные значения k, но и сопроводить это доказательством. Идеи, которые помогут закончить решение нашей задачи, уже были выдвинуты, опробованы при решении пунктов а) и б). Отталкиваться здесь нужно опять от выражения (3), использовать идеи делимости обеих частей равенства на одно и тоже число, а также то, что a, b и с - это цифры. Методом перебора вариантов, лучше разумного перебора, так как это сильно сокращает решение, а также время, потраченное на это решение, приходим к правильному ответу. Грамотное описание этого перебора и будет нужным доказательством.

А теперь еще раз окинем взглядом всё решение. Вроде, ничего сверхестественного здесь не видно, всё это в той или иной степени изучается на уроках математики. Но посмотрите, сколько всего должно было соединиться в нужный момент.

И это ведь только для одной из возможных задач.

А их тематика, повторимся, весьма разнообразна. Они могут быть и про арифметические прогрессии, и про средние величины, и с элементами геометрии, и с элементами теории множеств, и много-много про что ещё.

Чтобы научиться решать такие задачи, как в задании № 19 ЕГЭ по математике, нужно развивать своё  математическое мышление, получать опыт решения нестандартных задач, которые (и мышление, и опыт) формируются не за год, не за два. Избитая фраза "Чем раньше начать, тем лучше”, здесь, как никогда, к месту.